Пусть a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Так как площадь прямоугольного треугольника равна 9, то:

(ab)/2 = 9
ab = 18 (1)

Так как радиус окружности равен 2, а центр окружности лежит на гипотенузе, то c = 4.

Так как мы знаем a, b и c, можем использовать теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2
a^2 + b^2 = 4^2
a^2 + b^2 = 16 (2)

Теперь можем подставить (1) в (2):

a^2 + b^2 = 16
18 + 2ab = 16
18 + 2 * 18 = 16
18 + 36 = 16
54 = 16

Получили противоречие, что означает, что длины катетов не могут быть такими значениями. Пожалуйста, проверьте данную задачу, возможно, в ней допущена ошибка.