Пусть сторона основания равнобедренного треугольника равна a, а высота h. Пусть точка касания окружности с основанием треугольника делит его на отрезки b и c так, что b>c.

Так как центр окружности, вписанной в треугольник, делит высоту на отрезки длиной 5см и 13см, то b = 13см и с = 5см.

Из свойств треугольника, мы можем заметить, что у треугольника ABC равные стороны AB и AC, поэтому мы можем построить высоту треугольника AD и найти длину этой высоты.

Заметим, что треугольник ADB и треугольник ADC равнобедренные, так как стороны AD и AC равны (по построению), а углы BDA и CDA равны (как углы, вершины которых в остроугольном треугольнике принимают поверхностной измеряемый острый угол).

Таким образом, мы можем записать два уравнения:

(1) AD^2 + 13^2 = (a/2)^2, где AD - длина высоты треугольника
(2) AD^2 + 5^2 = (a/2)^2

Вычитаем уравнение (2) из уравнения (1):

13^2 - 5^2 = (a/2)^2 - (a/2)^2
169 - 25 = (a/2)^2 - (a/2)^2
144 = 0

Это уравнение не имеет смысла, так как мы получили противоречие.

Значит, данная задача некорректна, и данные противоречат друг другу.