Обозначим точку пересечения медианы с гипотенузой как D, а точку пересечения высоты с гипотенузой как E.

Так как треугольник ABC вписанный в окружность, то угол BAC = угол BOC = угол BIC, где O - центр окружности, B - середина дуги AC, I - середина дуги BC.

Также, так как угол BAD = угол CAD (по условию), то треугольники ABD и ACD подобны.

Пусть медиана AD делит сторону BC в отношении p : q, где p + q = 2. Тогда в треугольниках ABD и ACD по аналогии считаем, что AD = p/2 AC, CD = q/2 AC.

Теперь обратим внимание на треугольник ACE. Так как высота CE - это медиана AD, то CE = p/2 * AC.

Из того, что угол AED = угол BAD = угол CAD = угол BAC, следует, что треугольник AED подобен треугольнику ABC. Тогда AE/AC = ED/BC.

ED = CD - CE = AC(q/2 - p/2), так как CD = q/2 AC, CE = p/2 AC.

AE = ED AC = AC^2 (q - p)/2.

Ответ: расстояние от вершины A до основания высоты равно AC^2 * (q - p)/2.