Для решения этой задачи нам понадобится знание тригонометрии. Обозначим меньшее основание трапеции за ( a ) и высоту трапеции за ( h ).

Из условия задачи у нас есть угол ( \angle A ) равный 45 градусов и большее основание ( AB ) равное 10 см. Заметим, что у нас имеется прямоугольный треугольник ( ABD ) с гипотенузой ( BD ), равной большей боковой стороне трапеции (5√2 см) и катетом ( AB ), равным 10 см.

Таким образом, мы можем найти меньшее основание ( AD ) с помощью тригонометрии:

[ \cos 45^\circ = \frac{AD}{AB} ]
[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AD}{10} ]
[ AD = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ см} ]

Теперь мы знаем оба основания трапеции: ( AB = 10 ) см и ( AD = 5\sqrt{2} ) см, а также высоту ( h ) и большую сторону ( BC ) (5√2 см).

Теперь можем найти площадь трапеции:

[ S = \frac{(AB + AD) \cdot h}{2} ]
[ S = \frac{(10 + 5\sqrt{2}) \cdot h}{2} ]
[ S = \frac{(10 + 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2}}{2} ]
[ S = \frac{50\sqrt{2} + 50}{2} ]
[ S = 25\sqrt{2} + 25 \text{ см}^2 ]

Итак, площадь трапеции равна ( 25\sqrt{2} + 25 ) см².