Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник, где ∠CAD + ∠BCA = 180°, и AB = BC + AD.

Доказательство:

По условию AB = BC + AD, мы можем написать, что AD = AB - BC.Так как ∠CAD + ∠BCA = 180°, мы можем записать, что ∠CAD = 180° - ∠BCA.Теперь подставим полученные выражения в ∠CDA = ∠CAD + ∠DCA:
∠CDA = (180° - ∠BCA) + ∠DCA.Перенесем ∠DCA на левую часть уравнения:
∠CDA - ∠DCA = 180° - ∠BCA.Так как ∠CDA = ∠CAB (по свойству противоположных углов), мы можем заменить ∠CDA на ∠CAB:
∠CAB - ∠DCA = 180° - ∠BCA.Теперь мы видим, что ∠CAB = ∠BCA, поэтому можем записать:
∠BCA - ∠DCA = 180° - ∠BCA.После преобразований получаем:
2∠BCA = 180°,
∠BCA = 90°.Теперь подставляем найденное значение ∠BCA в изначальное уравнение:
∠CAD + ∠90° = 180°,
∠CAD = 90°.Таким образом, мы нашли значения углов ∠CAD и ∠BCA. Подставим их в равенство ∠CDA = ∠CAD + ∠DCA:
90° = 90° + ∠DCA,
∠DCA = 0°.Наконец, найдем значение угла ∠CAB (α) и ∠CDA (β):
α + β = 90° + 0° = 90°.
Таким образом, доказано, что ∠CAB + ∠DCA = ∠CDA.