Для нахождения синуса угла φ между прямой AM и диагональной плоскостью $BB1D1D$ нам нужно сначала найти косинус угла между этой плоскостью и прямой AM. Затем с помощью тригонометрических соотношений мы сможем найти синус этого угла.

Найдем косинус угла между прямой AM и плоскостью $BB1D1D$. Для этого найдем проекцию вектора AB1 $коллинеарногопрямойAM$ на вектор DB1 $нормальныйкплоскости(BB1D1D)$:

AB1 = AM + M1B1 = AM + 0.2D1B1 $требуетсяпоусловию$ DB1 = D1B1

AB1 DB1 = |AB1| |DB1| * cos$\alpha$,
где α - угол между векторами AB1 и DB1.

|AB1| = sqrt$A{M}^2+|M1B1{|}^2$ = sqrt$A{M}^2+0.2^2$ = sqrt$A{M}^2+0.04$,
|DB1| = sqrt$1^2+1^2+0.2^2$ = sqrt$1.04$.

Составим уравнение проекции:
AM D1B1 = |AB1| |DB1| cos$\alpha$.
AM 1 = sqrt$A{M}^2+0.04$ sqrt$1.04$ cos$\alpha$,
AM = sqrt$A{M}^2+0.04$ sqrt$1.04$ cos$\alpha$,
AM = sqrt$A{M}^2+0.04$ sqrt$1.04$ $AB1<em>DB1$ / |AB1| |DB1|.

Теперь найдем AM:
AM = sqrt$A{M}^2+0.04$ sqrt$1.04$ $2/5$ / sqrt$A{M}^2+0.04$ sqrt$1.04$,
AM = sqrt$1.04$ $2/5$.

Теперь найдем косинус угла φ:
cos$\phi$ = AM / |AM| = sqrt$1.04$ * $2/5$ / $2/5$,
cos$\phi$ = sqrt$1.04$.

Наконец, найдем синус угла φ с помощью теоремы Пифагора:
sin$\phi$ = sqrt$1-co{s}^2(\phi )$ = sqrt$1-1.04$ = sqrt$0.04$ = 0.2.

Таким образом, синус угла φ между прямой AM и диагональной плоскостью $BB1D1D$ равен 0.2.