Площадь треугольника ABC можно найти, зная что радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника на синус угла между ними.

Поэтому, обозначим стороны треугольника a, b, c — гипотенузу, а вершины угла C - α. Из условия задачи дано, что c = 12 см и r = 6,5 см.

Также заметим, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, что равно 6,5 см (r = a/2), поэтому гипотенуза a = 13 см.

Теперь можем найти синус угла α, так как sin(α) = a/c = 13/12.

Следовательно, sin(α) = 13/12, а синус угла α = 1,0833.

Так как площадь треугольника S = (a b sin(α))/2 и sin(α) мы уже знаем, то можем найти площадь треугольника S = (13 b 1,0833)/2.

Осталось найти сторону b. Используем теорему Пифагора: a^2 = b^2 + c^2, 13^2 = b^2 + 12^2, 169 = b^2 + 144, b^2 = 25, b = 5.

Теперь можем найти площадь треугольника S = (13 5 1,0833)/2 = 35,416 см^2.

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 35,416 см^2.