Для нахождения площади треугольника $CBT$ можем воспользоваться формулой площади треугольника через медиану:

$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{p(p-c)(p-t)(p-b)}$$, где $p$ - полупериметр треугольника, $t$ и $b$ - длины медианы, относящейся к стороне $t=c$, и оставшейся стороне $b$.

Мы знаем, что $CB = 14$ и $CD = 8$, а также угол $C = 150$ градусов. По условию, мы также знаем, что $CT$ - медиана треугольника.

Для начала найдем сторону $CT$:

Используем закон косинусов для нахождения стороны $CT$:

$$CT^2 = CB^2 + CD^2 - 2 \cdot CB \cdot CD \cdot \cos C$$
$$CT^2 = 14^2 + 8^2 - 2 \cdot 14 \cdot 8 \cdot \cos 150°$$

Далее, найдем синус и косинус угла 150 градусов:

$$\sin 150° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos 150° = -\frac{1}{2}$$

Подставляем значения в уравнение:

$$CT^2 = 14^2 + 8^2 - 2 \cdot 14 \cdot 8 \cdot (-\frac{1}{2}) = 196 + 64 + 112 = 372$$
$$CT = \sqrt{372} = 2\sqrt{93}$$

Теперь находим площадь треугольника $CBT$:

$$p = \frac{CB + CT + BT}{2} = \frac{14 + 2\sqrt{93} + BT}{2} = 7 + \sqrt{93} + \frac{BT}{2}$$

Составим уравнение для площади:

$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{p(p-c)(p-t)(p-b)}$$
$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(7 + \sqrt{93})(7 - \sqrt{93})(7 - HT)(7 + 2\sqrt{93} - BT)}$$
$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(49 - 93)(49 - HT)(49 + 2\sqrt{93} - BT)}$$
$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(-44)(49 - HT)(49 + 2\sqrt{93} - BT)}$$
$$S = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{-44\cdot 49 \cdot(1 - \frac{HT}{49})(1 + \frac{2\sqrt{93} - BT}{49})}$$

Итак, площадь треугольника $CBT$ равна $$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{-44 \cdot 49 \cdot (1 - \frac{HT}{49})(1 + \frac{2\sqrt{93} - BT}{49})}$$