Для нахождения угла между прямыми, касающимися окружности в точках A и B, нам нужно обратиться к свойству касательных к окружности.

Утверждение: Угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов.

Таким образом, у нас имеется треугольник OAC, где OA - радиус окружности, AC - касательная к окружности в точке A, а угол OAC равен 90 градусов (по утверждению).

Также у нас имеется треугольник OBC, где OB - радиус окружности, BC - касательная к окружности в точке B, а угол OBC также равен 90 градусов (по утверждению).

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника OAC и OBC, гипотенузы которых OA и OB соответственно, и угол между ними OAB, который равен 45 градусов.

Для нахождения угла между касательными AC и BC мы можем воспользоваться теоремой косинусов:

cos(OAB) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)

cos(45) = (OA^2 + OB^2 - AB^2) / (2 OA OB)

cos(45) = (2 r^2 - AB^2) / (2 r * r)

cos(45) = (2r^2 - AB^2) / (2r^2)

Так как cos(45) = sqrt(2) / 2, то мы можем подставить это значение в предыдущее уравнение и выразить AB:

sqrt(2) / 2 = (2 - AB^2) / 2

AB^2 = 2 - 2 * (sqrt(2) / 2)

AB^2 = 2 - sqrt(2)

AB = sqrt(2 - sqrt(2))

Теперь мы можем найти косинус угла между касательными:

cos(угол между касательными) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)

cos(угол между касательными) = (r^2 + r^2 - (2 - sqrt(2))) / (2 r r)

cos(угол между касательными) = (2r^2 - 2 + sqrt(2)) / (2r^2)

cos(угол между касательными) = (2 - 2 + sqrt(2)) / 2

cos(угол между касательными) = sqrt(2) / 2

Получается, что угол между касательными равен 45 градусам (cos(45) = sqrt(2) / 2).