Для начала найдем радиус цилиндра. Рассмотрим правильный треугольник, образованный диагональю сечения, радиусом и высотой цилиндра.

Так как диагональ равна 6√2, а она равна гипотенузе треугольника, то по теореме Пифагора можно найти радиус:
(2r)² + h² = (6√2)²,
4r² + h² = 72,
h² = 72 - 4r².

Так как угол между диагональю и радиусом равен 45 градусам, то синус этого угла равен sin(45°) = h / 6√2 = 1 / √2, откуда h = 6.

Теперь подставляем найденное значение h в уравнение:
6² = 72 - 4r²,
36 = 72 - 4r²,
4r² = 36,
r² = 9,
r = 3.

Теперь можем найти объем цилиндра:
V = πr²h = 9π * 6 = 54π см³.