Пусть меньшая сторона треугольника равна 11, тогда дуги описанной около треугольника окружности будут иметь длины 33, 55 и 110.

Обозначим радиус окружности через R.

Тогда длины дуг можно выразить через углы:

l = 2πR * α/360,
где l - длина дуги, R - радиус окружности, α - угол в градусах.

Из условия задачи мы знаем, что отношения длин дуг равны 3 : 5 : 10. Значит, углы будут в таком же отношении.

Пусть α1, α2 и α3 — углы, соответствующие дугам 33, 55 и 110 соответственно.

Тогда углы α1, α2 и α3 можно выразить через угол опирающийся дугу 110, обозначим его как β:

β = α3 = 110,
α1 = 3/18 β = 3/18 110 = 55,
α2 = 5/18 β = 5/18 110 = 55 * 5/3 = 91.(6)

Теперь можем записать итоговое уравнение:

2πR 55/360 + 2πR 91.(6)/360 + 2πR * 110/360 = 33 + 55 + 110

2πR * (55/360 + 91.(6)/360 + 110/360) = 33 + 55 + 110

2πR * (256.(6)/360) = 198

2πR * 0.7138 = 198

R ≈ 139.32

Итак, радиус окружности, описанной вокруг треугольника, равен приблизительно 139.32.