Поскольку угол ОАВ равен 45 градусам, то треугольник ОАС - прямоугольный с прямым углом в точке О. Так как ОС перпендикуляр к хорде АВ, то угол С равен 90 градусов.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник ОАС с гипотенузой (радиусом окружности) ОА = ОВ = ОС и катетами ОА = ОВ = 10 см и ОА = 10 см.

Применив тригонометрию, мы можем найти длину перпендикуляра ОС (катета) по формуле:

ОС = ОА tg(∠ОАВ) = 10 см tg(45°) ≈ 10 см * 1 ≈ 10 см.

Таким образом, длина перпендикуляра ОС равна 10 см.