Давайте рассмотрим треугольник, у которого вписанная окружность касается всех сторон. Тогда мы можем провести из центра окружности перпендикуляры к сторонам треугольника, которые будут являться радиусами окружности.

Получится, что каждая сторона треугольника разделена на два отрезка: от вершины треугольника до точки касания с окружностью и от этой точки до точки, где пересекается сторона с перпендикуляром. Эти отрезки будут равными.

Теперь мы можем рассмотреть треугольники, образованные таким образом на каждой стороне треугольника. Они будут подобны исходному треугольнику, так как углы при вершине треугольника равны.

Из этого следует, что отношение радиуса вписанной окружности к стороне треугольника будет равно отношению полупериметра треугольника к его площади. А так как площадь треугольника равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности, то исходное утверждение верно.