Спочатку розглянемо формулу для площі трикутника: S = 1/2 a b * sin(C), де C - це кут між сторонами a і b.

Також маємо формулу для площі трикутника через довжини його сторін: S = 1/4 √(2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)).

Далі з рівності S=1/4(c^2-a^2-b^2) маємо:
1/4 √(2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)) = 1/4(c^2 - a^2 - b^2);
√(2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4)) = c^2 - a^2 - b^2;
2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) - (a^4 + b^4 + c^4) = (c^2 - a^2 - b^2)^2;
2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4 = c^4 + a^4 + b^4 - 2c^2a^2 - 2c^2b^2 + 2a^2b^2;
a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = 4c^2a^2 + 4c^2*b^2.

Тепер можемо розкрити квадрати та привести подібні доданки:
a^4 + b^4 + c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 = 4c^2a^2 + 4c^2b^2;
a^4 + b^4 + c^4 - 2c^2a^2 - 2c^2*b^2 = 0;
(a^2 - c^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 = 0.

Отже, a^2 = c^2 та b^2 = c^2. Це можливо лише в тому випадку, коли кут C = 135°. Таким чином, ми довели, що кут C трикутника = 135°.