Пусть дан треугольник ABC. Пусть H – высота, проведенная из вершины A.

Докажем, что угол BAC делится медианой и высотой на три равные части.
Пусть M – середина стороны BC, то есть точка пересечения медианы. Тогда из равенства треугольников ABM и ACM (по условию AM – медиана) следует, что угол BAM = CAM.
Пусть N – точка пересечения высоты с AB. Тогда из равенства треугольников ANH и AHB (по построению NH = HB и угол ANH = BAH = 90 градусов) следует, что угол NAH = HAB.

Таким образом, угол BAC разделен медианой и высотой на три равные части: углы BAM = CAM = NAH = HAB. Но так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то каждый из этих углов равен 60 градусов.

Значит, угол BAC равен 60 градусов, угол ABC равен 90 градусов, так как высота проведена из вершины прямого угла, следовательно, треугольник прямоугольный.