Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Тогда высота опущенная на гипотенузу h равна sqrt(ab), а по условию задачи имеем уравнение:

c + sqrt(ab) = 13,35

Так как угол α = 45 градусов, то a^2 + b^2 = c^2. Заменим c^2 на a^2 + b^2 и будем иметь:

a^2 + b^2 + sqrt(ab) = 13,35^2
a^2 + b^2 + sqrt(ab) = 178,6225

Теперь воспользуемся методом подбора. Попробуем подобрать значения a и b, чтобы уравнение имело решение:

Пусть a = 1, b = 9 получается c = 3

1 + 9 + sqrt(1 * 9) = 13,35
10 + 3 = 13,35
13 = 13,35

Пусть a = 2, b = 4 получается c = 2sqrt(10)

4 + 16 + sqrt(2 * 4) = 13,35
20 + 2sqrt(10) = 13,35

Пусть a = 3, b = 4 получается c = 5

9 + 16 + sqrt(3 * 4) = 13,35
25 + sqrt(12) = 13,35

Пусть a = 4, b = 9 получается c = 5sqrt(2)

16 + 81 + sqrt(4 * 9) = 13,35
97 + 6 = 13,35

Таким образом, подходит вариант a = 1, b = 9, c = 3. Гипотенуза равна 3 дм.