Пусть радиус основания конуса равен R, а высота конуса равна h.

Так как плоскость сечения проходит через вершину конуса, длина хорды основания дана равной длине радиуса R. По условию, эта хорда видна из центра основания под углом 60°, что означает, что отношение радиуса R к расстоянию от центра основания до хорды равно tg(60°) = √3. Таким образом, R/6 = √3, откуда R = 6√3 см.

Так как плоскость сечения проходит под углом 45° к основанию, то треугольник, образуемый радиусом основания, подвешенным к хорде и хордой, является правильным треугольником. Следовательно, длина хорды составляет R√2 = 6√3√2 = 12 см.

Теперь рассмотрим правильный треугольник с углом в вершине 45°, противолежащим стороне, равной радиусу R, а смежными к этой стороне равными друг другу и равными h. Из этого треугольника следует, что h = R/√2 = 6√3/√2 = 6√6 см.

Таким образом, объем конуса равен V = (1/3)πR²h = (1/3)π(6√3)²(6√6) = 72π√2 см³.