Пусть а - ребро куба.

Так как вписанный куб касается всех граней пирамиды, то его ребро равно половине диагонали основания пирамиды.

Диагональ основания пирамиды равна стороне основания пирамиды (4√2) умножить на корень из 2 (две диагонали в квадрате равны сумме квадратов сторон квадрата), то есть 4 √2 √2 = 8 см.

Аналогично, с помощью теоремы Пифагора, найдем высоту пирамиды, закрепленную в центре основания к трем верхним вершинам квадрата:

(8\sqrt2)^2 = (4\sqrt2)^2 + h^2

64 * 2 = 64 + h^2

128 = 64 + h^2

64 = h^2

h = 8.

Сначала найдем высоту боковой грани пирамиды:
√(h^2 + (\frac{сторона_{основания}}{2})^2) = √(8^2 + 2^2) = 2 \sqrt{17} дм.

Мы нашли два треугольника. Теперь найдем диагональ:

2 \sqrt{17}^2 + 8^2 = d^2

d^2 = 68 + 64 = 132 = 2 \sqrt{33}

d = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} дм.

Значит, ребро куба равно половина диагонали основания, то есть:

a = d/2 = \sqrt{33} дм.