Обозначим основание равнобедренного треугольника за ( a ), а высоту треугольника за ( h ). Так как центр вписанной в него окружности делит высоту треугольника в отношении 5:4, получаем, что расстояние от вершины треугольника до центра вписанной окружности равно ( \frac{5}{9}h ), а расстояние от центра вписанной окружности до основания треугольника равно ( \frac{4}{9}h ).

Таким образом, окружность вписана в треугольник, при этом касается всех трех сторон. Известно, что длина каждой стороны треугольника равна сумме половин периметра треугольника и окружности умноженной на соответствующее расстояние от центра вписанной в него окружности.

Получаем уравнение:
( 26 = 24 + 2\pi \cdot \frac{5}{9}h ),
( a = 24 + \frac{10\pi}{9}h ).

С другой стороны, так как треугольник равнобедренный, основание равно двум боковым сторонам, то есть:
( a = 2 \cdot 26 = 52 ) см.

Теперь можем найти ( h ) подставляя значение ( a ) в выражение для ( a ) через ( h ):
( 52 = 24 + \frac{10\pi}{9}h ),
( \frac{10\pi}{9}h = 28 ),
( h = \frac{28 \cdot 9}{10\pi} ),
( h ≈ 8,939 ) см.

Теперь, найдем основание равнобедренного треугольника:
( a = 24 + \frac{10\pi}{9}h = 24 + \frac{10\pi}{9} \cdot 8,939 ),
( a ≈ 24 + 9,929 ≈ 33,929 ) см.

Итак, основание равнобедренного треугольника равно приблизительно 33,929 см.