Для решения данной задачи, нам необходимо использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника.

Из условия задачи видно, что треугольник ACP - прямоугольный, где угол С равен 90 градусов.

Сначала находим длину отрезка PC:
PC = CM = AM, так как треугольник AMC равнобедренный и AC равно 10 см.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике длину гипотенузы можно найти по формуле:
AC^2 = PM^2 + CM^2

Подставляем известные данные:
10^2 = PM^2 + CM^2

Учитывая, что PM = MA = CA - CM = 10 - CM:

10^2 = (10 - CM)^2 + CM^2
100 = 100 - 20CM + CM^2 + CM^2
100 = 100 - 20CM + 2CM^2
0 = 2CM^2 - 20CM

Делим обе стороны уравнения на 2CM:
0 = CM - 10
10 = CM

Таким образом, длина отрезка CM равна 10 см.

Известно, что MP = MA - AP = CM - AM = CM - CA:
MP = 10 - 10 = 0

Ответ: MP = 0.