а) Поскольку окружность, описанная около треугольника BQC, касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC, то углы в точках касания прямые. Таким образом, треугольник BQC - остроугольный. Значит, его описанная окружность лежит внутри треугольника ABC. Тогда центр окружности w лежит внутри треугольника ABC, следовательно, точка O лежит на окружности, описанной около треугольника ABC.

б) Обозначим радиус окружности, описанной около треугольника ABC, как R, а радиус окружности w - как r. Так как треугольник BOC равнобедренный (BC - касательная, проведенная из точки O к окружности w), то угол BOC равен углу BAC. Рассмотрим треугольник BOC и треугольник AOC. У них углы при вершине равны (углы BOС и AOC), углы на основании - прямые (углы BOC и AOC), а значит, данные треугольники подобны. Тогда
$$\frac{R}{r} = \frac{OC}{BC} = \frac{OC}{2r} = \frac{1}{2}.$$
Таким образом, R = 2r. С учетом данного соотношения и условия задачи получаем, что
$$\cos\angle BAC = \cos\angle BOC = \frac{BC}{2R} = \frac{BC}{4r} = \frac{3}{4}.$$