Решим эту задачу, используя свойство окружности, касающейся сторон многоугольника.

Пусть $r$ - радиус окружности.
Так как окружность касается сторон ромба, точка касания является точкой пересечения прямой, содержащей сторону ромба, и прямой, содержащей радиус, проведенный к точке касания. Таким образом, можно предположить, что треугольник BOP - прямоугольный.

По теореме Пифагора для этого треугольника получаем:
$$ r^2 + r^2 = (BP)^2 $$
$$ 2r^2 = 8^2 $$
$$ r^2 = 32 $$
$$ r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$

Таким образом, радиус окружности равен $4\sqrt{2}$ см.