Возьмем произвольный прямоугольный треугольник ABC, где угол C – прямой.

Пусть AD и BE – биссектрисы углов A и B соответственно, которые пересекаются в точке O. Нам нужно доказать, что точки пересечения биссектрис являются вершинами квадрата.

Посмотрим на треугольник AOD. Так как AD – биссектриса угла A, то угол OAD = угол DAO = угол A/2. Также заметим, что угол ODA = 90 градусов, так как треугольник ADC – прямоугольный. Значит, угол OAD + угол ODA = угол A/2 + 90 = 90, откуда угол A = 90 градусов.

Аналогично можно показать, что угол B = 90 градусов. Значит, треугольник ABC – прямоугольный треугольник, у которого все углы прямые.

Теперь построим квадрат ABOE со стороной AB (точка E лежит на продолжении AB). Так как углы A и B равны 90 градусов, то квадрат ABOE образует прямой треугольник ABC. Точка O является центром вписанной окружности в этот квадрат, а значит, она также является центром описанной окружности около треугольника ABC.

Таким образом, мы доказали, что точки пересечения биссектрис углов прямоугольного треугольника, не являющегося квадратом, являются вершинами квадрата.