Для нахождения угла между прямой MC и плоскостью ABC, нам сначала нужно найти координаты точки M.

Пусть координаты точки A равны (0, 0), координаты точки B равны (12, 0), а угол B равен 60 градусов. Тогда координаты точки C равны (12cos(60), 12sin(60)) = (6, 6√3).

Поскольку точка M удалена на расстояние 10 от каждой вершины треугольника, то координаты точки M будут равны ((0+12+6)/3, (0+0+6√3)/3) = (6, 2√3).

Теперь нам нужно найти вектор MC и вектор нормали плоскости ABC. Вектор MC будет равен (6-6, 6√3-2√3) = (0, 4√3), а вектор нормали плоскости ABC будет равен перекрестному произведению векторов AB и AC:

AB = (12-0, 0-0) = (12, 0),
AC = (6-0, 6√3-0) = (6, 6√3).

Нормаль = AB x AC = (0, 0, 126 - 60, 06-126√3, 126√3 - 60) = (0, 0, 72, -72√3, 72√3) = (0, 0, 72, -72√3, 0).

Сначала найдем скалярное произведение векторов MC и нормали: MC нормаль = 00 + 4√3*(-72√3) = -288.

Теперь найдем длины векторов MC и нормали: |MC| = √(0^2 + (4√3)^2) = 8, |нормаль| = √(72^2 + (-72√3)^2 + 0^2) = 72√(1 + 3) = 144.

Используя формулу для нахождения угла между векторами: cos угла = (MC нормаль) / (|MC| |нормаль|), мы получаем cos угла = (-288) / (8*144) = -3/8.

Таким образом, угол между прямой MC и плоскостью ABC равен arccos(-3/8) ≈ 128.66 градусов.