Для начала найдем длину диагонали основания (d). По теореме Пифагора для треугольника, образованного диагональю основания, половиной стороны основания и высотой, получаем:
[d^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5]
[d = \sqrt{5}]

Теперь рассмотрим треугольник, составленный из половины диагонали основания, половины стороны основания и высоты. Этот треугольник является прямоугольным. Площадь сечения через середины смежных сторон основания и вершину пирамиды равна площади этого треугольника.

По формуле для площади прямоугольного треугольника (S = \frac{1}{2} \times a \times b), где (a) и (b) - катеты, получаем:
[S = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times 1 = \frac{\sqrt{5}}{4}]

Итак, площадь сечения, проведенного через середины смежных сторон основания и вершину пирамиды, равна (\frac{\sqrt{5}}{4}).