По условию, прямая АО пересекает плоскость альфа в точке А и плоскость бета в точке B, а прямая ОС пересекает плоскости альфа и бета в точках C и D соответственно.

Так как АО=4 и AC=12, то ОС=4+12=16. Таким образом, мы имеем два треугольника: ABC и ODC.

Из треугольника ABC по теореме Пифагора:
(AB^2 = AC^2 - BC^2 \
AB^2 = 12^2 - 4^2 \
AB^2 = 144 - 16 \
AB^2 = 128 \
AB = 8 \sqrt{2})

Из треугольника ODC по теореме Пифагора:
(OD^2 = OC^2 - DC^2 \
OD^2 = 16^2 - 4^2 \
OD^2 = 256 - 16 \
OD^2 = 240 \
OD = 4\sqrt{15})

Таким образом, (BD = OB + OD = 3 + 4\sqrt{15} = 3 + 4\sqrt{15}).