Для доказательства этого утверждения построим биссектрису угла M, обозначим точку пересечения этой биссектрисы с прямой BC как точку О'. Также обозначим угол BOM = α.

Так как угол OBM = ODM, то треугольники OBM и ODM подобны по двум углам (по третьему углу они равны между собой):
1) Угол OBM = угол ODM
2) Углы при вершине О равны между собой: угол ВОМ = угол DОМ

Следовательно, треугольники OBM и ODM равны по углам. Тогда угол MBO = MDO = α. Угол MOB = MDO = α (по прямым углам), так как угол BOM = ODM.

Теперь рассмотрим треугольники OBM и O'BM. Угол O'BM = α (так как это биссектриса угла M), угол OBM = α (доказали выше). Также угол O'BM = OBM, поэтому треугольники OBM и O'BM равны между собой по двум углам и общей стороне. Отсюда следует, что OB = O'B.

Наконец, так как ВО = OD, а также OB = O'B, то треугольники ВОМ и O'MD равны между собой по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, точка О совпадает с точкой О', то есть точка О лежит на биссектрисе угла M.