Для начала найдем длины сторон треугольника по формуле полу-периметра:

p = (AB + BC + CA) / 2 = (10 + 6 + 14) / 2 = 15

Теперь найдем площадь треугольника по формуле Герона:

S = sqrt(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)) = sqrt(15 5 9 1) = sqrt(675) = 15√3

Далее найдем биссектрисы треугольника:

BD - биссектриса угла B

CD - биссектриса угла C

BD = (2 AB BC cos(B/2)) / (AB + BC) = (2 10 6 sqrt[(15 - 10)/15 (15 - 6)/15]) / 16 = 2 10 6 sqrt(5/15 * 9/15) / 16 = 4√3 см

CD = (2 AC BC cos(C/2)) / (AC + BC) = (2 14 6 sqrt[(15 - 14)/15 (15 - 6)/15]) / 20 = 2 14 6 sqrt(1/15 * 9/15) / 20 = 4√3 см

Точка O - точка пересечения биссектрис BD и CD, следовательно EO и OD являются биссектрисами углов E и D соответственно.

Теперь найдем OD и OE по теореме синусов:

sin(B) = OC / BD

OC = BD sin(B) = 4√3 sin(B) = 4√3 * 4 / 5 = 16√3 / 5

sin(C) = OB / BD

OB = BD sin(C) = 4√3 sin(C) = 4√3 * 2 / 5 = 8√3 / 5

Теперь найдем отношение OE к OB:

OE / OB = OC / OB = (16√3 / 5) / (8√3 / 5) = 16 / 8 = 2

Ответ: ОЕ : ОB = 2 : 1.