Пусть AB и CD - диагонали четырехугольника, которые разделяют четырехугольник на треугольники ABC и ACD.

Пусть O1 и O2 - центры вписанных окружностей в треугольники ABC и ACD соответственно. Тогда O1A, O1B и O1C - радиусы окружности, вписанной в треугольник ABC, а O2A, O2D и O2C - радиусы окружности, вписанной в треугольник ACD.

Так как треугольники ABC и ACD являются прямоугольными, касательные к окружностям, проведенные в точках касания, будут равны радиусам этих окружностей. То есть, O1A = O1C и O2A = O2C.

Также из прямоугольности треугольников ABC и ACD следует, что O1A + O1C = 6/2 = 3, O2A + O2C = 4/2 = 2.

Теперь, для треугольника AOB, где O - точка касания окружности треугольника ABC с диагональю AB, и треугольника AOD, где O - точка касания окружности треугольника ACD с диагональю AD, имеем:

OA = O1A, OB = O1B, OD = O2D, AD = 4, AB = 8 (диагонали четырехугольника).

Теперь, используя теорему Пифагора для треугольников AOB и AOD, можем найти расстояние между точками касания:

AOB: OA^2 + OB^2 = AB^2
O1A^2 + O1B^2 = 8^2
O1A^2 + O1B^2 = 64

AOD: OA^2 + OD^2 = AD^2
O1A^2 + O2D^2 = 4^2

Теперь выразим O1B и O2D через O1A и O2A, зная что O1A = O1C и O2A = O2C:

O1B = OB - O1A = 4 - O1A
O2D = OD - O2A = 7 - O2A

Подставим эти выражения в уравнения треугольников AOB и AOD:

O1A^2 + (4 - O1A)^2 = 64
O1A^2 + 16 - 8O1A + O1A^2 = 64
2O1A^2 - 8O1A - 48 = 0
O1A^2 - 4O1A - 24 = 0
(O1A - 6)(O1A + 4) = 0
O1A = 6 (т. к. O1A > 0)

O1A = 6 означает, что O1B = 4 - 6 = -2, что явно не имеет физического смысла. Следовательно, O1A = 6.

O2D = OD - O2A = 7 - O2A = 7 - 2 = 5

Теперь найдем расстояние между точками касания:

Расстояние = O1A + O2D = 6 + 5 = 11

Ответ: расстояние между точками касания окружностей с диагональю равно 11.