Для нахождения отношения площадей двух треугольников необходимо найти их площади.

Первый треугольник со сторонами 36 см, 24 см и 42 см. Для нахождения его площади воспользуемся формулой полупериметра и формулой Герона:

Полупериметр:
s = (a + b + c) / 2 = (36 + 24 + 42) / 2 = 102 / 2 = 51.

Площадь:
S1 = √[s (s - a) (s - b) (s - c)] = √[51 (51 - 36) (51 - 24) (51 - 42)] = √[51 15 27 * 9] = √(21870) ≈ 147.92 см².

Второй треугольник со сторонами в пропорции 4:6:7 и меньшей стороной 8 см. Найдем длины сторон второго треугольника:

Меньшая сторона = 8 см.

Так как пропорция сторон 4:6:7, то длины сторон можно найти, умножив каждое значение пропорции на коэффициент k:
4k = 8, следовательно k = 8 / 4 = 2.
6 2 = 12 см.
7 2 = 14 см.

Таким образом, стороны второго треугольника составляют 8 см, 12 см и 14 см.

Для нахождения его площади воспользуемся тем же способом:

Полупериметр:
s = (8 + 12 + 14) / 2 = 34 / 2 = 17.

Площадь:
S2 = √[s (s - a) (s - b) (s - c)] = √[17 (17 - 8) (17 - 12 ) (17 - 14)] = √[17 9 5 * 3] = √(2295) ≈ 47.94 см².

Теперь находим отношение площадей двух треугольников:

Отношение S1 к S2 = S1 / S2 = 147.92 / 47.94 ≈ 3.08.

Отношение площадей двух треугольников равно примерно 3.08.