Пусть стороны прямоугольника равны x и y, где x > y.

Так как разность двух соседних сторон равна 7, то x - y = 7.

Также, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника: x^2 + y^2 = d^2, где d = 13 (диагональ).

Теперь можем записать систему уравнений:

1) x - y = 7
2) x^2 + y^2 = 13^2 = 169

Из первого уравнения находим, что x = y + 7. Подставляем это во второе уравнения:

(y + 7)^2 + y^2 = 169
y^2 + 14y + 49 + y^2 = 169
2y^2 + 14y - 120 = 0
y^2 + 7y - 60 = 0
(y + 12)(y - 5) = 0

Получаем два варианта для y: y = 5 или y = -12. Так как сторона прямоугольника не может быть отрицательной, то y = 5 см.

Тогда x = y + 7 = 12 см.

Площадь прямоугольника равна S = x y = 12 5 = 60 кв. см.

Итак, площадь прямоугольника равна 60 кв. см.