Дано:
Один катет прямоугольного треугольника a = 12 см,
Гипотенуза прямоугольного треугольника c = 13 см.

Известно, что противолежащий угол равен 60°.

Для нахождения второго катета применим тригонометрические функции:
sin(60°) = a/c,
sin(60°) = a/13,
a = 13 * sin(60°).

a = 13 √3 / 2,
a = 6.5 √3.

Теперь можем найти объем пирамиды, используя формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) S h,

Где S - площадь основания пирамиды, равная S = (a * b) / 2,
h - высота пирамиды, равная h = √(c^2 - (a / 2)^2).

Подставляем все данные:
S = (12 6.5 √3) / 2,
S = 39 * √3 см^2;

h = √(13^2 - (6.5 √3)^2),
h = √(169 - 42.25 3),
h = √(169 - 127.5),
h = √41.5 см.

Теперь подставляем значения в формулу для объема пирамиды:
V = (1/3) 39 √3 √41.5,
V = (13 39√3) / 3,
V ≈ 353.67 см^3.

Ответ: объем пирамиды примерно равен 353.67 см^3.