Для начала найдем третий угол треугольника ABC:

Угол C = 180 - 20 - 40 = 120 градусов

Затем найдем длину стороны BC с помощью теоремы синусов:

sin(20) / 12 = sin(120) / BC
BC = 12sin(120) / sin(20) ≈ 20.78 см

Теперь найдем радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой:

R = (AB BC AC) / 4S

где S - площадь треугольника, которую мы можем найти с помощью формулы герона:

S = sqrt(p(p - AB)(p - BC)(p - AC))

p = полупериметр треугольника = (AB + BC + AC) / 2

Подставляем значения и получаем:

p = (12 + 20.78 + AC) / 2
p = 16.39 + AC / 2

S = sqrt(16.39(16.39 - 12)(16.39 - 20.78)(16.39 - AC))
S = sqrt(16.394.394.39*20.78)
S ≈ 49.19

Теперь подставляем S в основную формулу и находим радиус окружности:

R = (12 20.78 AC) / (4 * 49.19)
R = 498.72 / 196.76
R ≈ 2.53 см

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен примерно 2.53 см.