Обозначим угол BACD как x. Так как BACD - двугранный угол, то угол BAD = 180 - x.

Треугольник ABC и ADC равнобедренные, значит углы ABC и ACB равны между собой, а углы ADC и ACD также равны между собой.

Таким образом, угол ABD = (180 - x) / 2 = 90 - x / 2, угол ACD = (180 - x) / 2 = 90 - x / 2.

Так как угол ABC = 180 - 90 - x / 2 = 90 - x / 2, а ACB = 180 - 90 - x / 2 = 90 - x / 2, получаем, что треугольник ABD равнобедренный.

Теперь можем применить теорему косинусов к треугольнику ABD:

BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 AB AD cos(180 - x / 2)
BD^2 = 10^2 + sqrt(61)^2 - 2 10 sqrt(61) cos(180 - x / 2)
BD^2 = 100 + 61 - 20 sqrt(61) cos(180 - x / 2)
BD^2 = 161 - 20 sqrt(61) cos(180 - x / 2)

Также из теоремы косинусов для треугольника ABC можем найти cos(180 - x / 2):

cos(180 - x / 2) = (AC^2 + BC^2 - AB^2) / (2 AC BC)
cos(180 - x / 2) = (12^2 + 10^2 - 10^2) / (2 12 10)
cos(180 - x / 2) = 121 / 240
cos(180 - x / 2) = 0.504166

Подставляем значение cos(180 - x / 2) в предыдущее уравнение:

BD^2 = 161 - 20 sqrt(61) 0.504166
BD^2 = 67.91624
BD = sqrt(67.91624)
BD ≈ 8.238 cm

Теперь найдём угол BD:

cos(BD) = (AB^2 + BD^2 - AD^2) / (2 AB BD)
cos(BD) = (10^2 + 8.238^2 - sqrt(61)^2) / (2 10 8.238)
cos(BD) = 0.537294
BD ≈ arccos(0.537294)
BD ≈ 56.25°

Итак, угол BD равен приблизительно 56.25°.