Для начала найдем радиус вписанной окружности.

Так как сторона правильного шестиугольника равна 4√3, то радиус вписанной окружности равен половине стороны шестиугольника, то есть 2√3.

Теперь найдем радиус описанной окружности. Радиус описанной окружности равен длине стороны шестиугольника, то есть 4√3.

Площадь кольца между этими двумя окружностями выражается формулой: S = π(R^2 - r^2), где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

S = π((4√3)^2 - (2√3)^2) = π(48 - 12) = 36π

Итак, площадь кольца между описанной и вписанной окружности равна 36π.