Дано: угол К = 37 градусов, угол М = 69 градусов, NP - биссектриса угла MNP.

Необходимо доказать, что MP > PK.

Доказательство:

По условию, NP - биссектриса угла MNP. Значит, угол MNP = угол MNK (по свойству биссектрисы).

Так как в треугольнике MNK сумма углов равна 180 градусов, то угол NKM = 180 - угол K - угол M = 180 - 37 - 69 = 74 градуса.

Из пункта 1 и 2 следует, что в треугольнике NKP сумма углов равна 180 градусов. Так как угол NKP = угол NKM + угол MKP, то угол MKP = угол NKP - угол NKM = 180 - 74 = 106 градусов.

Рассмотрим треугольник MNP. По теореме синусов:

MP/sin(109) = NP/sin(69).

Так как sin(109) > sin(69) (так как sin возрастает на интервале (0,90°)), то MP > NP.

Но так как NP = PK (по условию), то MP > PK.

Таким образом, доказано, что MP больше PK.