Пусть длина прямоугольника равна "а", ширина - "b", а высота - "h".

Таким образом, периметр боковой грани равен 2a + 2b = 24, что означает a + b = 12 (1).

Периметр другой боковой грани равен 2a + 2h = 32, что означает a + h = 16 (2).

Учитывая уравнения (1) и (2), мы можем выразить a и h через b:

a = 12 - b,
h = 16 - a = 16 - (12 - b) = 4 + b.

Теперь можем записать формулу для объёма V = a b h:

V = (12 - b) b (4 + b) = -b^3 + 16b^2 + 48b

Мы можем найти точку экстремума этой функции, взяв производную и приравняв её к нулю:

dV/db = -3b^2 + 32b + 48 = 0

b = ( -32 ± sqrt(32^2 - 4(-3)48) ) / 2*(-3)
b = ( -32 ± sqrt(1024 + 576) ) / -6
b = ( -32 ± 40) / -6

b1 = 8/3
b2 = -24

Так как b не может быть отрицательным, то b1 = 8/3.

Теперь найдем соответствующие a и h по найденному b:

a = 12 - 8/3 = 28/3
h = 16 - 28/3 = 40/3

Таким образом, a = 28/3, b = 8/3, h = 40/3.

Теперь можем найти объем:

V = a b h = 28/3 8/3 40/3 = 320/3 = 106.67 см^3.

Итак, объем параллелепипеда с наибольшей боковой поверхностью равен 106.67 см^3.