Свойства смежных углов:

Смежные углы образуются двумя прямыми, которые пересекаются.Смежные углы равны, если у них общая сторона и сторона продолжения.Сумма смежных углов равна 180 градусов.

Доказательство:
Пусть угол AOC и угол COB - смежные углы, образованные двумя пересекающимися прямыми AB и OC.

У нас есть два треугольника AOC и COB с общей стороной OC.По условию задачи, AD = DB.Так как треугольники равны по двум сторонам и общему углу, то они равны.Следовательно, угол AOC = угол COB.

Таким образом, смежные углы равны.

Свойства вертикальных углов:

Вертикальные углы равны.Вертикальные углы дополнительны друг другу.Вертикальные углы образованы двумя пересекающимися прямыми.

Доказательство:
Пусть угол AOB и угол COD - вертикальные углы, образованные пересекающимися прямыми OC и OD.

Угол AOB и угол COD равны, так как они образованы двумя пересекающимися прямыми.Пусть угол AOB = x и угол COD = y.x + y = 180 градусов, так как угол AOD является прямым.Следовательно, угол AOB и угол COD дополнительны друг другу.

Таким образом, мы доказали свойства смежных и вертикальных углов.