Пусть AC = x, BD = y.

Так как AD является биссектрисой угла C, то BD является медианой треугольника ABC. Значит, BD делит сторону AC пополам, то есть AC = x = 2y.

По условию, периметры треугольников ABC и ABD равны 37 и 24 соответственно:

AB + BC + AC = 37
AB + BD + AD = 24

Заменим AC на 2y и разобьем эти уравнения на 2:

AB + BC + 2y = 37
AB + y + AD = 12

Так как угол CAD равен углу ACD, то треугольник ACD равнобедренный и AC = AD. Значит, заменим AD на x и уравнения примут вид:

AB + BC + 2y = 37
AB + y + x = 12

Так как BD является медианой треугольника ABC, то AB = 2BD, откуда AB = 2y.

Подставим это в первое уравнение:

2y + BC + 2y = 37
BC + 4y = 37

Подставим найденное значение AC = 2y во второе уравнение:

2y + y + 2y = 12
5y = 12
y = 12/5
y = 2.4

Тогда x = 2y = 2*2.4 = 4.8.

Итак, длина стороны AC равна 4.8.