Обозначим боковую грань правильной треугольной призмы как AB, диагональ боковой грани, образующую угол 30° с боковой гранью AB, как AC, а основание правильной треугольной призмы как ABCDEFGH.

Так как у нас правильная треугольная призма, то угол между боковой гранью и диагональю будет 90°. Таким образом, у нас получается, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Чтобы найти диагональ AC, можно воспользоваться теоремой Пифагора:
AB = 6 см (сторона основания)
AC = ?
BC = AC cos30° = AC √3/2, так как cos30° = √3/2

Применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC:
AB^2 = AC^2 + BC^2
6^2 = AC^2 + (AC √3/2)^2
36 = AC^2 + 3AC^2/4
36 = AC^2(1 + 3/4)
36 = AC^2 7/4
AC^2 = 36 * 4/7
AC^2 = 144 / 7
AC = √(144 / 7) = √(144) / √(7) = 12 / √7 = 12√7 / 7

Теперь, чтобы найти объём треугольной призмы, нужно найти площадь основания и умножить на высоту H:
S_base = (AB AC) / 2 = (6 12√7 / 7) / 2 = 36√7 / 7
H = BC = 12√7 / 7
V = S_base H = (36√7 / 7) (12√7 / 7) = 432 / 49 * 7 = 432 \approx 9,3 см^3

Ответ: объём призмы равен 432/49 ≈ 9,3 см³.