Для начала найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника. Так как угол при вершине треугольника равен 60 градусов, а биссектриса делит его на два равных угла, то получаем два равных прямоугольных треугольника.

Пусть длина гипотенузы равна h, а катеты равны x и y (x - искомый катет). Таким образом, у нас получаются два равных уравнения по теореме синусов:
[ \frac{x}{\sin30} = \frac{h}{\sin60} ]
[ \frac{y}{\sin30} = \frac{h}{\sin60} ]

Итак, нам нужно найти только длину катета, лежащего против угла в 60 градусов, а значит длина катета x:

[ x = \sin30 \cdot \frac{h}{\sin60} ]

Учитывая, что (\sin30 = \frac{1}{2}) и (\sin60 = \frac{\sqrt{3}}{2}), подставим соответствующие значения:

[ x = \frac{1}{2} \cdot \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = h \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} ]

Теперь подставим длину биссектрисы: 18 см:

[ x = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 4.5 \sqrt{3} \approx 7.8 \text{ см} ]

Таким образом, длина катета, лежащего против угла в 60 градусов, равна примерно 7.8 см.