Пусть ( x ) - сторона равностороннего треугольника ( \triangle ABC ).

Так как ( AD ) - биссектриса угла ( A ), то ( AD \perp BC ).

Также, так как ( AD ) является высотой треугольника ( \triangle ABD ), то можно составить прямоугольный треугольник ( \triangle ABD ) и выразить один его катет через гипотенузу и линии биссектрисы:

[ AD^2 = AB^2 - BD^2 ]
[ AD^2 = x^2 - \left(\frac{x}{2}\right)^2 ]
[ AD^2 = x^2 - \frac{x^2}{4} ]
[ AD^2 = \frac{3x^2}{4} ]
[ AD = \frac{x\sqrt{3}}{2} ]

Теперь заметим, что ( AD = BD = DC ), так как треугольник ( \triangle ABD ) является равнобедренным. Значит, расстояние от точки ( D ) до стороны ( AC ) равно ( \frac{x\sqrt{3}}{2} - \frac{x}{2} = 6 ). Отсюда получаем, что ( x = 24 ).

Теперь найдем расстояние от вершины ( A ) до прямой ( BC ). Обозначим его как ( h ).

Так как треугольник ( \triangle ABD ) является прямоугольным, то ( h = BC - AD = 24 - 12\sqrt{3} ).

Итак, расстояние от вершины ( A ) до прямой ( BC ) равно ( 24 - 12\sqrt{3} ) см.