Обозначим катеты треугольника как a и b, а гипотенузу как c.

Так как высота, проведенная из вершины прямого угла, равна 4, то получаем, что:
ab / 2 = 4

Также из условия задачи известно, что разность проекций катетов на гипотенузу равна 15, то есть:
c - (a + b) = 15

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
c^2 = a^2 + b^2

Теперь можем подставить значения a и b из первого уравнения во второе:
a = 8 / b

Подставим a из первого уравнения во второе уравнение:
c - (8 / b + b) = 15
c^2 = (8 / b)^2 + b^2

Теперь можем подставить значение a второго уравнения в первое уравнение и решить систему уравнений. Получаем, что a = 8 и b = 2.

Теперь найдем гипотенузу, используя второе уравнение:
c - (8 + 2) = 15
c - 10 = 15
c = 25

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу:
S = (ab) / 2
S = (8 * 2) / 2
S = 8

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 8.