Площадь равнобедренной трапеции можно найти по формуле:

(S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}),

где a и b - основания трапеции, h - высота трапеции.

Из свойств равнобедренной трапеции известно, что боковая сторона (a) равна 12 см, а один из углов равен 45 градусов. Также известно, что основание трапеции состоит из двух равных отрезков, один из которых равен 6 см, а другой равен (a - 12)/2 см.

Таким образом, мы можем рассчитать (a) и (b):

(a = 12 + (a - 12) / 2),

(a = 12 + a/2 - 6),

(a/2 = 6),

(a = 12).

Площадь трапеции теперь равна:

(S = \frac{(6 + 12) \cdot h}{2} = 9h).

Чтобы найти высоту трапеции, разложим трапецию на два прямоугольных треугольника со сторонами 6, 6 и (h):

(\cot(45^{\circ}) = \frac{6}{h}),

(h = 6).

Теперь можем найти площадь трапеции:

(S = 9 \cdot 6 = 54 \,см^2).

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 54 квадратных сантиметра.