Для начала найдем высоту пирамиды, которая является высотой равнобедренной трапеции, образованной боковой гранью и плоскостью основания.

Пусть H - искомая высота пирамиды.

Так как боковое ребро образует угол 45° с плоскостью основания, то треугольник, образованный этим ребром и высотой пирамиды, будет прямоугольным. Таким образом, мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения высоты.

tg(45°) = H / (3/2),
√2 = H / (3/2),
H = √2 * 3/2 = 3√2 / 2.

Теперь можем найти объем пирамиды по формуле:

V = (S * H) / 3,

где S - площадь основания пирамиды, равная площади правильного шестиугольника:

S = (3^2 * √3) / 4 = 9√3 / 4.

V = (9√3 / 4 * 3√2 / 2) / 3 = (27√6) / 8.

Таким образом, объем правильной шестиугольной пирамиды равен 27√6 / 8 кубических сантиметров.