Пусть сторона квадрата основания параллелепипеда равна а см, тогда его площадь равна а^2.

Так как диагональ параллелепипеда образует угол 45 градусов с плоскостью основания, то можно составить прямоугольный треугольник с катетами а, а и гипотенузой d (диагональ параллелепипеда).

Из соотношения катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника получаем:
а^2 + а^2 = d^2
2a^2 = d^2
d = √(2a^2) = a√2

Теперь можем найти объем параллелепипеда:
V = Sh = a^2h = a^2*6
V = 6a^2

Зная, что d = a√2, можем найти отношение стороны квадрата к диагонали:
a = d/√2
a = 6/√2
a = 6√2/2
a = 3√2

Теперь можем найти объем параллелепипеда:
V = 6(3√2)^2
V = 618
V = 108 см^3

Ответ: объем параллелепипеда равен 108 см^3.