В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной ВС. Докажите, что AC + AB = 3BC.
В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, касается средней линии, параллельной ВС. Докажите, что AC + AB = 3BC.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим точки касания окружности с сторонами треугольника как D, E, F (по сторонам AB, BC, AC соответственно).
Поскольку точка D лежит на средней линии треугольника ABC (параллельной BC), то AD = DB, равно как AE = EC и CF = FA.
Тогда AC = AF + FC = AE + EC = AB + BC
С другой стороны, по условию ABC - треугольник, в который вписана окружность, то можно записать равенства:
AF + FB = AB
FB + FC = BC
FA + AC = 3FB
Сложим два последних равенства:
FA + AC = 3FB
FA + AB + BC = 3FB
AB + BC = 2FB
Подставим значения AC и AB, полученные ранее:
AB + BC = 2FB
AB + AB + BC = 3BC
2AB + BC = 3BC
AB + BC = 2BC
Отсюда следует, что AC + AB = 3BC.