Длина хорды, проведенной через точку внутри круга перпендикулярно к диаметру, равна $2\sqrt{r^2-d^2}$.

Это можно объяснить следующим образом:

Пусть дан круг радиуса $r$ с центром $O$ и точкой $A$ внутри круга. Проведем диаметр $BC$, проходящий через точку $A$. Пусть точка пересечения хорды, проведенной через точку $A$ и перпендикулярной к диаметру, с окружностью обозначена как $M$. Тогда треугольник $OAM$ является прямоугольным, а $AM$ - высота этого треугольника.

Так как $AM$ - высота, то $OA$ и $MA$ перпендикулярны и, следовательно, треугольник $OAM$ и треугольник $OBA$ подобны.

Из этого следует, что $\frac{OA}{OB} = \frac{AM}{AB}$, откуда $\frac{r}{2r} = \frac{d}{2\sqrt{r^2-d^2}}$, и, в результате, получаем $2\sqrt{r^2-d^2} = d_{хорды}$.

Таким образом, длина хорды, проведенной через точку внутри круга перпендикулярно к диаметру, равна $2\sqrt{r^2-d^2}$.