Для решения этой задачи нужно воспользоваться свойством медиан правильного треугольника, которое гласит, что медиана треугольника делит другую медиану в отношении 2:1.

Поскольку MO является медианой и делит другую медиану (допустим, CM) в отношении 2:1, то три треугольника, образованные точкой O и вершинами треугольника ABC, будут равны по площади.

Пусть точка M располагается на расстоянии x от вершины A. Тогда точка C находится на расстоянии 6 - x от вершины A.
Таким образом, получаем, что площади треугольников AMO, ABC и OCM будут одинаковыми.

Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле:
S = 1/2 AB h,
где h - высота треугольника.

Таким образом, S_ABC = 1/2 6 h = 3h.

Площадь треугольника AMO:
S_AMO = 1/2 MO x = x.

Площадь треугольника OCM:
S_OCM = 1/2 MO (6 - x) = 1/2 2 (6 - x) = 6 - x.

Так как было установлено, что S_AMO = S_ABC = S_OCM, то x = 6 - x. Отсюда x = 3.

Значит, точка M находится на расстоянии 3 см от вершины A, и, следовательно, на 3 см от вершины C.

Таким образом, расстояния от точки M до каждой из вершин треугольника ABC равны:

до вершины A - 3 см,до вершины B - 6 см,до вершины C - 3 см.