Для нахождения наибольшей площади многоугольника с заданным периметром воспользуемся формулой для площади многоугольника:

S = 1/2 P r,

где S - площадь, P - периметр, r - радиус описанной вокруг многоугольника окружности.

Так как у многоугольника стороны проходят по линиям сетки, то он окажется вписанным в окружность. Также, так как радиус описанной окружности многоугольника будет наибольшим, то наибольшая площадь многоугольника будет достигаться в случае правильного многоугольника (например, правильного треугольника).

Для правильного треугольника со стороной 671 и периметром 2014 радиус описанной окружности равняется 670, а его площадь равна 201361.

Таким образом, наибольшая площадь многоугольника с периметром 2014, стороны которого проходят по линиям сетки, равна 201361.